Izvorni kod stranice Vektorsko polje

[[Datoteka:Vector field.svg|desno|mini|222px|Vektorsko polje oblika f(''x'',''y'')=(&minus;''y'', ''x'')]]
U [[matematika|matematici]] i [[fizika|fizici]] '''vektorsko polje''' je [[polje (fizika)|polje]], koje svakoj točki lokalno [[Euklidski prostor|Euklidskog prostora]] pridružuje [[vektor]]sku veličinu.

Neki od diferencijalnih operatori primjenjivih na vektorsko polje su [[divergencija]] i [[rotacija polja|rotacija]].

== Formalna definicija ==

Neka je <math>D\subseteq\mathbb{R}^n</math> i neka <math>X_0</math> označava skup svih radij-vektora u koordinatnom sustavu <math>\left(O,x_1,x_2,x_3,...,x_k\right); k = \dim D</math>, tj. 

:<math>X_0=\{\overrightarrow{OM}| M=(x_1,x_2,x_3,...,x_k)\in\mathbb{R}^n \}</math>. 

Kažemo da je '''[[funkcija]] skalarne varijable''' (kraće: '''vektorska funkcija''' ili '''vektorsko polje''') svaka funkcija

:<math> \overrightarrow{\textbf{W}}:D\mapsto X_0.</math>

Drugim riječima, vektorsko polje je prostorna funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje [[vektor]].

[[Datoteka:Potencijalno v polje.png|desno|mini|250px|Potencijalno vektorsko polje]]
[[Datoteka:Solenoidno vektorsko polje.png|desno|mini|250px|Solenoidno vektorsko polje]]
[[Datoteka:Laplaceovo Vektorsko Polje.png|desno|mini|250px|Laplaceovo vektorsko polje]]
[[Datoteka:Opce Vektorsko Polje.png|desno|mini|250px|Opće vektorsko polje]]

== Transformacije sustava ==
Neka je <math>S\subseteq\mathbb{R}^n</math> i <math>V_x:S\mapsto\mathbb{R}^n</math> vektorsko polje u euklidskim
koordinatama. Ukoliko je <math>Y</math> neki drugi koordinatni sustav na ''S'', tada je izraz za to vektorsko polje u sustavu
<math>Y</math>:
:<math>V_Y:=\frac{\partial y}{\partial x}V_x.</math>

== Napomene ==
Za ''V'' se kaže da je C<sup>''k''</sup> vektorsko polje, ako je ono ''k'' puta diferencijabilno.

Jako je važno razlikovati '''vektorsko''' i '''skalarno''' polje! Što vrijedi za vektore i [[skalar]]e, isto vrijedi i ovdje: glavna i bitna razlika je u ''koordinatnim transformacijama'': skalar sam po sebi ''jest'' koordinata, dok je vektor ''opisan'' koordinatama, ali sam po sebi nije kolekcija koordinata. Tako i skalarno polje svakoj točki prostora pridružuje ''koordinate'', a vektorsko vektore.

== Primjene ==
Vektorska polja se najviše primjenjuju u [[fizika|fizici]], npr. 
* [[brzina|Brzinu]] vjetra možemo zamisliti kao vektorsko polje u <math>\mathbb{R}^7</math> (!), gdje je svaka točka opisana sa sedam koordinata: <math>\left(v_x,v_y,v_z,t,x,y,z\right)</math> (polje je zavisno o vremenu!).
* Brzina protjecanja [[fluid]]a kroz cijev.
* Opis magnetskog djelovanja.
* Opis električnog djelovanja.
* [[Gravitacija]].

== Podjela ==
Prema [[divergencija|divergenciji]] i [[rotacija polja|rotaciji]], vektorska polja dijelimo na:
* Potencijalno ili bezvrtložno:
:<math>\mbox{rot}\,\overrightarrow{W}=0 \mbox{ (svuda)}</math>
:<math>\mbox{div}\,\overrightarrow{W}\neq 0 \mbox{ (barem u nekim točkama)}</math>
* Solenoidno ili bezizvorno:
:<math>\mbox{rot}\,\overrightarrow{W}\neq 0 \mbox{ (barem u nekim točkama)}</math>
:<math>\mbox{div}\,\overrightarrow{W} = 0 \mbox{ (svuda)}</math>
* Laplaceovo:
:<math>\mbox{rot}\,\overrightarrow{W}=0 \mbox{ (svuda)}</math>
:<math>\mbox{div}\,\overrightarrow{W}=0 \mbox{ (svuda)}</math>
* Polje općeg oblika ili složeno polje:
:<math>\mbox{rot}\,\overrightarrow{W} \neq 0 \mbox{ (barem u nekim točkama)}</math>
:<math>\mbox{div}\,\overrightarrow{W} \neq 0 \mbox{ (barem u nekim točkama)}</math>

== Povezani pojmovi ==
* [[Tok polja]]
* [[Divergencija]]
* [[Rotacija polja]]
* [[Električno polje]]
* [[Magnetsko polje]]
* [[Elektromagnetsko polje]]

== Vanjske veze ==
* [http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat2/node20.html Skalarna i vektorska polja. Gradijent.]
* [http://lavica.fesb.hr/mat3/predavanja/node7.html Skalarna i vektorska polja.]
* [http://mathworld.wolfram.com/VectorField.html Wolfram: Vector Fields]
* [http://www.falstad.com/vector/ 2D Vector Field Simulation]
* [http://www.falstad.com/vector3d/ 3D Vector Field Simulation]

[[Kategorija:Vektori|Polje]]
[[Kategorija:Fizika]]
[[Kategorija:Linearna algebra]]