Izvorni kod stranice Rotor (matematika)

U [[vektorska analiza|vektorskoj analizi]] i [[teorija polja|teoriji polja]], '''rotor''' ili '''rotacija''' (rot, eng. ''curl'') je veličina koja odražava svojstva [[vektorsko polje|vektorskoga polja]] u prostoru. Najviše se primjenjuje u [[fizika|fizici]], pogotovo u [[elektromagnetizam|elektromagnetizmu]] i [[hidrodinamika|hidrodinamici]].

== Definicija ==

[[Datoteka:Shema rotacija.png|desno|mini|300px|Shematski prikaz uz definiciju rotacije vektorskoga polja]]

Pogledajmo linijski [[integral]] [[vektorsko polje|vektorskog polja]] <math>\overrightarrow{W}</math> duž zatvorne krivulje <math>C</math> koja ograničava površinu <math>S</math>. Premostimo krivulju
nekim lukom, tako da je vanjska krivulja razdvojena na dvije (<math>C_1+C_2=C</math>). Pri integriranju sada udio imaju samo vanjski dijelovi početne
linije, jer se po luku integrira jednom u jedom, a drugi put u suprotom smijeru pa se taj integral poništava (v. sl.). Naravno, isto se događa i
za velik broj razdioba početne površine <math>S</math>:

:<math>\oint \overrightarrow{W} d\vec{S}=\int\limits_C \overrightarrow{W} d\vec{S}=\sum_{i=1}^N \int\limits_{C_i} \overrightarrow{W} d\vec{S}_i.</math>

Uzmimo sada omjer te vrijednosti i ''infinitezimalno'' malog dijela površine <math>A_i</math> koji okružuje krivulja <math>C_i</math>. Pustimo li da <math>N \mapsto
\infty</math>, odnosno <math>A_i \mapsto 0</math>, dobivamo [[limes|graničnu vrijednost]] koja predstavlja [[skalar|skalarnu veličinu]] pridruženu određenoj točki prostora, pa je
stoga možemo smatrati komponentom [[vektor]]a. Pomnožimo li dati izraz s [[normala|vektorom normale]] <math>\hat{n}</math>, dolazimo upravo do definicije '''rotacje''' ili
'''rotora''' vektorskog polja:

:<math>\hat{n} \cdot \mbox{rot} \overrightarrow{W} \stackrel{def.}{=}\lim_{A_i \rightarrow 0} \frac{\int\limits_{C_i}\overrightarrow{W} d\vec{S}}{A_i} =
\lim_{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\oint \overrightarrow{W} d\vec{S}}{\Delta S}.</math>

== Svojstva i pretpostavke ==
'''Nije nužno''' da ploha omeđena krvuljom koju promatramo '''leži u ravnini''', traži se jedino da ta ploha ''nema [[singularnost]]i''. 

Nadalje,
pretpostavlja se da se vektor normale <math>\hat{n}</math> ne mijenja dok se element plohe smanjuje k nuli. 
Rotor je, kao i [[Divergencija]], također '''[[invarijanta]] vektorskog
polja'''.

== Rotor u kartezijevu sustavu ==

[[Datoteka:Rotor pravokutni.png|desno|mini|450px|Shematski prikaz uz definiciju rotacije vektorskoga polja]]

Kako bismo izveli izraz za rotor u [[pravokutni sustav|kartezijevu sustavu]], napravimo integraciju po rubu
pravokutnika paralelnog s <math>xOy</math> - ravinom (<math>\hat{n} = \hat{z}</math>), kao na sl.

:<math>\oint \overrightarrow{W} d \vec{S} = \int\limits_{C_1}
\overrightarrow{W} d \vec{S} + \int\limits_{C_2}
\overrightarrow{W} d \vec{S} + \int\limits_{C_3}
\overrightarrow{W} d \vec{S} + \int\limits_{C_4}
\overrightarrow{W} d \vec{S} =</math> 

:<math>=\int\limits_{C_1} W_x
(x,y_0,z_0) dx +\int\limits_{C_2} W_y (x_0+\Delta x,y,z_0) dy - </math> 

:<math>-\int\limits_{C_3} W_x (x,y_0+\Delta y,z_0) dx - \int\limits_{C_4}
W_y (x_0,y,z_0) dy = </math> 

:<math>=\int \Bigl[ W_x(x,y_0,z_0) -
W_x(x,y_0+\Delta y,z_0) \Bigr] dx +</math>

:<math> + \int \Bigl[ W_y(x_0+\Delta
x,y,z_0) - W_y(x_0,y,z_0) \Bigr] dy =  </math>

:<math>=\frac{\partial W_y}{\partial x} \cdot \Delta x \Delta y -
\frac{\partial W_x}{\partial y} \cdot \Delta x \Delta y =</math>

:<math>=\Delta S \cdot \Bigl (\frac{\partial W_y}{\partial x} -
\frac{\partial W_x}{\partial y} \Bigr).</math> 

Uvršatavanjem u
definiciju rotacije, te potpunom analogijom, imamo:

:<math>\hat{z}\cdot \mbox{rot} \overrightarrow{W} = \lim_{\Delta S
\rightarrow 0} \frac{\oint \overrightarrow{W} d \vec{S}}{\Delta S}
=\lim_{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\Bigl (\frac{\partial
W_y}{\partial x} - \frac{\partial W_x}{\partial y} \Bigr) \Delta
S}{\Delta S} = \Bigl (\frac{\partial W_y}{\partial x} -
\frac{\partial W_x}{\partial y} \Bigr)=(\mbox{rot}
\overrightarrow{W})_z. </math> 

:<math>(\mbox{rot}
\overrightarrow{W})_x=\Bigl (\frac{\partial W_z}{\partial y} -
\frac{\partial W_y}{\partial z} \Bigr)</math> 

:<math>(\mbox{rot}
\overrightarrow{W})_y=\Bigl (\frac{\partial W_x}{\partial z} -
\frac{\partial W_z}{\partial x} \Bigr)</math> 

:<math>(\mbox{rot}
\overrightarrow{W})_z= \Bigl (\frac{\partial W_y}{\partial x} -
\frac{\partial W_x}{\partial y} \Bigr)</math> 

:<math>\mbox{rot}
\overrightarrow{W}=\hat{x}\Bigl (\frac{\partial W_z}{\partial y} -
\frac{\partial W_y}{\partial z} \Bigr) + \hat{y}\Bigl
(\frac{\partial W_x}{\partial z} - \frac{\partial W_z}{\partial x}
\Bigr) + \hat{z}\Bigl (\frac{\partial W_y}{\partial x} -
\frac{\partial W_x}{\partial y} \Bigr).</math> 

Očito u danoj
fomuli možemo prepoznati simbolički zapisanu [[determinanta|determinantu]]: 

:<math>
\mbox{rot} \overrightarrow{W}= \left|
    \begin{array}{ccc}
        \displaystyle{\hat{x}} & \displaystyle{\hat{y}} & \displaystyle{\hat{z}} \\
        \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}} & \displaystyle{\frac{\partial}{\partial y}} & \displaystyle{\frac{\partial}{\partial z}}\\
        \displaystyle{W_x} & \displaystyle{W_y} & \displaystyle{W_z}
    \end{array}
\right|. </math> 

Nadalje, očito je 

:<math>\mbox{rot}
\overrightarrow{W}=\Bigl(\hat{x}\frac{\partial}{\partial
x}+\hat{y}\frac{\partial}{\partial
y}+\hat{z}\frac{\partial}{\partial z}\Bigr) \times (\hat{x}W_x +
\hat{y}W_y + \hat{z}W_z)=\vec{\nabla} \times \overrightarrow{W},
</math> 
pa <math>\mbox{rot} \overrightarrow{W}</math> često označavamo s
<math>\vec{\nabla} \times \overrightarrow{W}</math>, gdje je <math>\vec{\nabla}</math> [[hamilton|Hamiltonov]] operator.

== Rotacija i Stokesov teorem ==

Za rotaciju vrijedi [[Stokesov teorem]]
:<math>\int\limits_S \mbox{rot} \overrightarrow{W} \cdot d\vec{A} = \int\limits_C \overrightarrow{W} \cdot d\vec{S}.</math>

== Izrazi za rotaciju u drugim koordinatnim sustavima ==

* u [[cilindrični sustav|cilindričnom]]:
:<math>|(\mbox{rot} \overrightarrow{W})_{\rho}| = \frac{1}{\rho} \frac{\partial W_z}{\partial \varphi}- \frac{\partial W_{\varphi}}{\partial z}</math>
:<math>|(\mbox{rot} \overrightarrow{W})_{\varphi}|=\frac{\partial W_{\rho}}{\partial z} - \frac{\partial W_z}{\partial \rho}</math>
:<math>|(\mbox{rot} \overrightarrow{W})_z|=\frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho}(\rho W_{\varphi}) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial
    W_{\rho}}{\partial \varphi}</math>
:<math>\mbox{rot}\overrightarrow{W}=\biggl[\frac{1}{\rho} \frac{\partial W_z}{\partial \varphi}- \frac{\partial W_{\varphi}}{\partial z}\biggr]\hat{\rho}+
    \biggl[\frac{\partial W_{\rho}}{\partial z} - \frac{\partial W_z}{\partial \rho} \biggr]\hat{\varphi}+
    \biggl[\frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho}(\rho W_{\varphi}) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial W_{\rho}}{\partial \varphi}\biggr]\hat{z}</math>

* u [[sferni sustav|sfernom]]:
:<math>|(\mbox{rot} \overrightarrow{W})_r| = \frac{1}{r\sin\vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta}(W_{\varphi}\sin\vartheta)-
    \frac{1}{r\sin\vartheta} \frac{\partial W_{\vartheta}}{\partial \varphi}</math>
:<math>|(\mbox{rot} \overrightarrow{W})_{\vartheta}|=\frac{1}{r\sin\vartheta} \frac{\partial W_r}{\partial\varphi} -\frac{1}{r}\frac{
    \partial }{\partial r}(rW_{\varphi})</math>
:<math>|(\mbox{rot} \overrightarrow{W})_{\varphi}|=\frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r}(r W_{\vartheta}) - \frac{1}{r} \frac{\partial
    W_{r}}{\partial \vartheta}</math>
:<math>\mbox{rot}\overrightarrow{W}=\biggl[\frac{1}{r\sin\vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta}(W_{\varphi}\sin\vartheta)-
    \frac{1}{r\sin\vartheta} \frac{\partial W_{\vartheta}}{\partial \varphi}\biggr]\hat{r}+
    \biggl[\frac{1}{r\sin\vartheta} \frac{\partial W_r}{\partial\varphi} -\frac{1}{r}\frac{
    \partial }{\partial r}(rW_{\varphi}) \biggr]\hat{\vartheta}+\biggl[\frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r}(r W_{\vartheta}) - \frac{1}{r} \frac{\partial
    W_{r}}{\partial \vartheta}\biggr]\hat{\varphi}.</math>

== Rotacija i algebarske operacije ==

Neka su dana [[vektorsko polje|vektorska polja]] <math>\vec{u}</math> i <math>\vec{v}</math>, [[skalar]] <math>U</math>,
skalarna funkcija <math>f(U)</math> i [[radij-vektor]] <math>\vec{r}</math>. Tada vrijedi:
* <math>\textrm{rot}(\vec{u}+\vec{v})=\textrm{rot}\vec{u}+\textrm{rot}\vec{v}</math>
* <math>\textrm{rot}(U \cdot \vec{v})=U \cdot \textrm{rot}\vec{v}-\vec{v} \times \mbox{grad} U</math>
* <math>\textrm{rot}[f(U) \cdot \vec{v}]=f(U)\cdot \textrm{rot}\vec{v}-\vec{v} \times f_U^{'}(U)\textrm{grad} U</math>
* <math>\textrm{rot}\vec{r}=0</math>
* <math>\mbox{rot}(\vec{u} \times \vec{v})= \vec{u} \mbox{div} \vec{v} - \vec{v} \mbox{div}\vec{u}+(\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{u}-(\vec{u}
     \cdot \vec{\nabla})\vec{v}</math>
* <math>\mbox{grad}(\vec{u} \cdot \vec{v})= \vec{v} \times \mbox{rot} \vec{u} + \vec{u} \times\mbox{rot} \vec{v} +(\vec{v} \cdot \vec{\nabla})
    \vec{u}+(\vec{u} \cdot \vec{\nabla})\vec{v}</math>
* <math> \mbox{div}(\vec{u} \times \vec{v})= \vec{v}\mbox{rot}\vec{u}-\vec{u}\mbox{rot}\vec{v}.</math>


== Primjeri ==

* '''Rotor elektrostaskog polja točkastog naboja''', <math>\overrightarrow{E}=
\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^3}\vec{r}</math>: 
:<math>\mbox{rot} \overrightarrow{E} = \mbox{rot} \Bigl(\frac{1}{4
\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^3}\vec{r}
\Bigr)\stackrel{(2.)}{=}\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}
\mbox{rot}\vec{r} -\vec{r} \times \mbox{grad} \frac{q}{4 \pi
\varepsilon_0 r^3} = -\frac{3q}{4 \pi \varepsilon_0
r^4}\frac{\vec{r}}{r}
\times\vec{r} = [\vec{r}\times\vec{r}=0]=0.</math>

* '''Rotor vektorskog polja [[obodna brzina|obodne kružne brzine]]''', <math>\vec{v}=\vec{\omega} \times \vec{r}</math> (v. sl.).
[[Datoteka:Brzina rot.png|desno|mini|300px|Shematski prikaz uz rotaciju polja obodne brzine]]

:<math> \vec{v}=\vec{\omega} \times \vec{r}= \left|
    \begin{array}{ccc}
        \hat{x} & \hat{y} & \hat{z}\\
        \omega_x & \omega_y & \omega_z\\
        x & y & z
    \end{array}
\right|=\hat{x} (z
\omega_y-y\omega_z)+\hat{y}(x\omega_z-z\omega_x)+\hat{z}(y\omega_x-x\omega_y);</math>

:<math> \mbox{rot} \vec{v}= \left|
    \begin{array}{ccc}
        \hat{x} & \hat{y} & \hat{z}\\
        \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\
        (z \omega_y-y\omega_z) & (x\omega_z-z\omega_x) & (y\omega_x-x\omega_y)
    \end{array}
\right|=2\omega_x\hat{x}+2\omega_y\hat{y}+2\omega_z\hat{z}=2\vec{\omega}.</math>

Odatle se lako mogu iščitati komponente [[kutna brzina|kutne brzine]]:

:<math>\omega_x=\frac{1}{2}\Bigl( \frac{\partial v_z}{\partial y}
- \frac{\partial v_y}{\partial z}\Bigr)</math>
:<math>\omega_y=\frac{1}{2}\Bigl( \frac{\partial v_x}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial x}\Bigr)</math>
:<math>\omega_z=\frac{1}{2}\Bigl( \frac{\partial v_y}{\partial x}
- \frac{\partial v_x}{\partial y}\Bigr).</math>

Na ovom primjeru primijetimo: vektor brzine
<math>\vec{v}</math> je [[polarni vektor]], a vektor
<math>\mbox{rot}\vec{v}</math> je [[aksijalni vektor]]. Međutim, to
vrijedi i
općenito: ''rotor polarnog vektora je aksijalni vektor, a rotor aksijalnog vektora je polarni vektor.''

== Vezani pojmovi ==
* [[Tok polja]]
* [[Gradijent]]
* [[Divergencija]]
* [[Vektorsko polje]]
* [[Elektromagnetizam]]
* [[Električno polje]]
* [[Magnetsko polje]]
* [[Hidrodinamika]]
* [[Vektorske operacije u zakrivljenim koordinatama]]

== Vanjske poveznice ==
* [http://lavica.fesb.hr/mat3/predavanja/node8.html Gradijent, divergencija i rotacija]
* [http://www.grad.hr/nastava/matematika/mat2/node21.html Divergencija i rotacija. Specijalna polja]
* [http://mathworld.wolfram.com/Curl.html Wolfram: Curl]

[[Kategorija:Fizika]]
[[Kategorija:Mehanika fluida]]
[[Kategorija:Palindromi]]