Izvorni kod stranice Rocheova granica

[[Datoteka:Roche limit (with small mass u).svg|mini|desno|300px|[[Plimna sila]] u [[nebeska mehanika|nebeskoj mehanici]] djeluje općenito na bilo koja dva [[nebesko tijelo|nebeska tijela]], ako veličina jednog tijela nije zanemariva s obzirom na udaljenost do drugog tijela (općenito ''M'' je [[nebesko tijelo]] kao [[planet]], a ''m'' prirodni ili umjetni [[satelit]]).]]

{{Multiple image
 | align     = right
 | direction = vertical
 | header    =
 | header_align = left/right/center
 | header_background =
 | footer    =
 | footer_align = left/right/center
 | footer_background =
 | width     =
 | image1    = Roche limit (far away sphere).svg
 | width1    = 300
 | caption1  = <center> Daleko od Rocheove granice, fluidni satelit (tekući, plinoviti ili satelit sastavljene od labave nakupine krutih dijelova) će biti sferičan ([[kugla]]st).</center>
 | image2    = Roche limit (tidal sphere).svg
 | width2    = 300
 | caption2  = <center>U blizini Rocheove granice, satelit će se izdužiti (deformirati) zbog utjecaja plimne sile.</center>
 | image3    = Roche limit (ripped sphere).svg
 | width3    = 300
 | caption3  = <center> Unutar Rocheove granice, satelit se počinje raspadati (vlastita gravitacijska sila satelita ne može više držati njegove dijelove na okupu zbog prevelikog utjecaja plimne sile). </center>
 | image4    = Roche limit (top view).svg
 | width4    = 300
 | caption4  = <center> Dijelovi satelita bliži planetu (crveni) se počinju brže kretati od daljih dijelova (plavi) satelita. </center>
 | image5    = Roche limit (ring).svg
 | width5    = 300
 | caption5  = <center> Različite kutne brzine dijelova satelita uzrokuju stvaranje prstena oko planeta (primjer [[Saturnovi prsteni]]). </center>
}}

[[Datoteka:Field tidal.svg|mini|desno|300px|[[Plimna sila]] je uzrokovana [[Newtonov zakon gravitacije|gravitacijskim privlačenjem]] vodenih masa od strane [[Sunce|Sunca]] i [[Mjesec]]a, te [[Centrifugalna i centripetalna sila|centrifugalnom silom]] koja se javlja uslijed okretanja [[Zemlja|Zemlje]] i Mjeseca odnosno Zemlje i Sunca oko zajedničkog centra masa ([[baricentar]]).]]

'''Rocheova granica''' (prema francuskom matematičaru i astronomu [[Édouard Roche|Édouardu Rocheu]], koji ju je 1847. prvi teorijski odredio) je udaljenost od središta većega nebeskoga tijela do točke u kojoj je gravitacijska sila toga tijela jednaka gravitacijskoj sili satelitskoga tijela. Općenito vrijedi Rocheov odnos, koju su učinili točnijom [[James Hopwood Jeans]] (1917. i 1919.) i [[Subrahmanyan Chandrasekhar]] (1969.) za [[Krutine|krute]] satelite: <ref>see calculation in Frank H. Shu, ''The Physical Universe: an Introduction to Astronomy,'' p. 431, University Science Books (1982), ISBN 0-935702-05-9.</ref><ref>{{cite web | url=http://www.asterism.org/tutorials/tut25-1.htm | title=Roche Limit: Why Do Comets Break Up?}}</ref>

:<math> d = 1.26\; R_M\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}} </math>

gdje je:
* ''d'' - [[Rocheova granica]] za [[Krutine|krute]] [[satelit]]e (m),
* ''R<sub>M</sub>'' - polumjer nebeskog tijela (m),
* ''ρ<sub>M</sub>'' - [[gustoća]] planeta (kg/m<sup>3</sup>),
* ''ρ<sub>m</sub>'' - gustoća satelita (kg/m3).

Ta se jednakost može pisati i kao:

:<math> d = 1.26\; R_m\left( \frac {M_M} {M_m} \right)^{\frac{1}{3}} </math>

gdje je:
* ''d'' - [[Rocheova granica]] za [[Krutine|krute]] [[satelit]]e (m),
* ''M<sub>M</sub>'' - masa planeta (kg),
* ''M<sub>m</sub>'' - masa satelita (kg).

Unutar Rocheove granice, zbog utjecaja plimnih sila, sateliti koje na okupu drži uglavnom gravitacijska sila raspadaju se. <ref> '''Rocheova granica''', [http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=53116] "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2014.</ref>

Za [[fluid]]ne satelite ([[Tekućine|tekuće]], [[plin]]ovite ili satelit sastavljene od labave nakupine krutih dijelova) vrijedi:

:<math> d \approx  2.44R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{1/3} </math>

Za planete gustoće slične Zemljinoj, uz uvjet da je masa satelita mnogo manja od mase planeta, Rocheova granica za fluidne satelite iznosi oko 2.44 polumjera planeta. Tako se na primjer dijelovi [[Saturnovi prsteni|Saturnova prstena]] ne mogu gravitacijski skupiti u jedan ili više satelita, jer se nalaze unutar 2.3 [[Saturn]]ova polumjera. Opstaju sateliti čvrste građe, koje osim gravitacijskih povezuju i sile veće od plimnih sila planeta, u granicama od 1.26 do 2.44 polumjera planeta.

== Deriviranje formule za Rocheovu granicu ==

:<math> F_G = \frac{Gmu}{r^2}</math>

[[Plimna sila]] <math>F_P</math> na masu <math>u</math> prema planetu ili primarnom tijelu s polumjerom <math>R</math> i udaljenosti <math>d</math> izmeđe centara dvaju tijela može se napisati sljedećom jednadžbom :

:<math> F_P = \frac{2GMur}{d^3}</math>

Rocheova granica je dostignuta kada je gravitacijska sila jednaka plimnoj:

:<math> F_G = F_P </math>

ili

:<math> \frac{Gmu}{r^2} = \frac{2GMur}{d^3}</math>

Iz koje se brzo dobiva Rocheova granica, d kao:

:<math> d = r \left( 2 M / m \right)^{\frac{1}{3}} </math>

Pošto polumjer satelita nije potraban u formuli, ovo se može izraziti koristeći specifične gustoće dvaju dijela:

Za okruglu masu <math>M</math> može se napisati

:<math> M = \frac{4\pi\rho_M R^3}{3}</math> gdje <math>R</math> polumjer planeta ili osnovong tijela

Također:

:<math> m = \frac{4\pi\rho_m r^3}{3}</math> gdje <math>r</math> polumjer satelita


:<math> d = r \left( \frac{ 2 \rho_M R^3 }{ \rho_m r^3 } \right)^{1/3} </math>

podjednostavljeno:

:<math> d = R\left( 2\;\frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}} </math>

[[Datoteka:Shoemaker-levy-tidal-forces.jpg|mini|center|700px|Raspadanje [[Shoemaker-Levy 9, komet|kometa Shoemaker-Levy 9]] 1994. uslijed utjecaja [[Jupiter]]ove plimne sile i prelaska [[Rocheova granica|Rocheove granice]].]]

== Primjeri Rocheove granice ==
Prva tablica prikazuje [[gustoća|gustoće]] i [[ekvator]]ijalne [[polumjer]]e nekih nebeskih tijela u [[Sunčev sustav|Sunčevu sustavu]]:
{| class="wikitable"
! Veće [[nebesko tijelo]] !! [[Gustoća]] ([[kg]]/[[Kubični metar|m<sup>3</sup>]]) !! [[Polumjer]] ([[metar|m]])
|-
| [[Sunce]] ||align="center"| 1.408 ||align="right"|696 000 000
|-
| [[Jupiter]] ||align="center"|1.326 ||align="right"|71 492 000
|-
| [[Zemlja]] ||align="center"| 5.513 ||align="right"| 6 378 137
|-
| [[Mjesec]] ||align="center"| 3.346 ||align="right"|1 738 100
|-
| [[Saturn]] ||align="center"| 687 ||align="right"|60 268 000
|-
| [[Uran]] ||align="center"|1.318 ||align="right"|25 559 000
|-
| [[Neptun]] ||align="center"|1.638 ||align="right"|24 764 000
|}

Koristeći gornje podatke, Rocheova granica se može izračunati s obzirom na [[krutine|krute]] ili [[fluid]]ne [[satelit]]e ([[tekućine|tekuće]], [[plin]]ovite ili satelite sastavljene od labave nakupine krutih dijelova). Prosječna gustoća [[komet]]a se uzima oko 500 kg/m<sup>3</sup>.

Tablica ispod prikazuje Rocheove granice izražene u [[kilometar|kilometrima]] i s obzirom na polumjer velikog nebeskog tijela. Stvarna Rocheova granica za satelit ovisi o stvarnoj gustoći i [[krutost]]i satelita (neznatno odstupa):

{| class="wikitable"
!rowspan="2"| Nebesko tijelo !!rowspan="2"| Satelit !!colspan="2"| Rocheova granica (kruti) !!colspan="2"| Rocheova granica (fluidni)
|-
! Udaljenost (km) !! ''R'' !! Udaljenost (km) !! ''R''
|-
| Zemlja || Mjesec ||align="right"| 9 496 ||align="center"| 1.49 ||align="right"| 18 261 ||align="center"| 2.86
|-
| Zemlja || prosječni komet ||align="right"| 17 880 ||align="center"| 2.80 ||align="right"| 34 390 ||align="center"| 5.39
|-
| Sunce || Zemlja ||align="right"| 554 400 ||align="center"| 0.80 ||align="right"| 1 066 300 ||align="center"| 1.53
|-
| Sunce || Jupiter ||align="right"| 890 700 ||align="center"| 1.28 ||align="right"| 1 713 000 ||align="center"| 2.46
|-
| Sunce || Mjesec ||align="right"| 655 300 ||align="center"| 0.94 ||align="right"| 1 260 300 ||align="center"| 1.81
|-
| Sunce || prosječni komet ||align="right"| 1 234 000 ||align="center"| 1.78 ||align="right"| 2 374 000 ||align="center"| 3.42
|}

Da bi pokazali koliko su daleko [[prirodni satelit]]i u Sunčevu sustavu od Rocheove granice, u tablici su dati polumjeri [[Planetarna putanja|putanja]] unutarnjih planeta podijeljeni s vlastitom Rocheovom granicom. Date su vrijednosti i za krute i za fluidne satelite. Treba zapaziti da su posebno [[Pan (mjesec)|Pan]], [[Kordelija]] i [[Najada (mjesec)|Najada]] vrlo blizu stvarne granice raspadanje.

U stvarnosti, gustoća većine unutarnjih prirodnih satellite za velike planet nije poznata. U tom slučaju, prikazano ''ukošeno'', vrijednosti se pretpostavljaju, pa stvarna vrijednost Rocheove granice može neznatno odstupati.

{| class="wikitable"
!rowspan="2"| Veće nebesko tijelo !!rowspan="2"| Satelit !!colspan="2"| Polumjer putanje / Rocheova granica
|-
! (kruti) !! (fluidni)
|-
| [[Sunce]] || [[Merkur]] ||align="center"| 104 ||align="center"| 54
|-
| [[Zemlja]] || [[Mjesec]] ||align="center"| 41 ||align="center"| 21
|-
|rowspan="2"| [[Mars]] || [[Fobos (mjesec)|Fobos]] ||align="right"| 1.72 ||align="right"| 0.89
|-
| [[Deimos (mjesec)|Deimos]] ||align="right"| 4.51 ||align="right"| 2.34
|-
|rowspan="4"| [[Jupiter]] || '' [[Metida (mjesec)|Metida]]'' ||align="right"| ''~1.86'' ||align="right"| ''~0.94''
|-
| ''[[Adrasteja (mjesec)|Adrasteja]]'' ||align="right"| ''~1.88'' ||align="right"| ''~0.95''
|-
| [[Amalteja (mjesec)|Amalteja]] ||align="right"| 1.75 ||align="right"| 0.88
|-
| [[Teba (mjesec)|Teba]] ||align="right"| 2.54 ||align="right"| 1.28
|-
|rowspan="6"| [[Saturn]] || '''[[Pan (mjesec)|Pan]]''' ||align="right"| 1.42 ||align="right"| 0.70
|-
| [[Atlas (mjesec)|Atlas]] ||align="right"| 1.56 ||align="right"| 0.78
|-
| [[Prometej (mjesec)|Prometej]] ||align="right"| 1.62 ||align="right"| 0.80
|-
| [[Pandora (mjesec)|Pandora]] ||align="right"| 1.67 ||align="right"| 0.83
|-
| [[Epimetej (mjesec)|Epimetej]] ||align="right"| 2.00 ||align="right"| 0.99
|-
| [[Janus (mjesec)|Janus]] ||align="right"| 1.95 ||align="right"| 0.97
|-
|rowspan="6"| [[Uran]] || '''''[[Kordelija]]''''' ||align="right"| ''~1.54'' ||align="right"| ''~0.79''
|-
| ''[[Ofelija]]'' ||align="right"| ''~1.66'' ||align="right"| ''~0.86''
|-
| ''[[Bjanka]]'' ||align="right"| ''~1.83'' ||align="right"| ''~0.94''
|-
| ''[[Kresida]]'' ||align="right"| ''~1.91'' ||align="right"| ''~0.98''
|-
| ''[[Dezdemona]]'' ||align="right"| ''~1.94'' ||align="right"| ''~1.00''
|-
| ''[[Julija (mjesec)|Julija]]'' ||align="right"| ''~1.99'' ||align="right"| ''~1.02''
|-
|rowspan="5"| [[Neptun]] || '''''[Najada (mjesec) |Najada]]''''' ||align="right"| ''~1.39'' ||align="right"| ''~0.72''
|-
| ''[[Talasa (mjesec)|Talasa]]'' ||align="right"| ''~1.45'' ||align="right"| ''~0.75''
|-
| ''[[Despina (mjesec)|Despina]]'' ||align="right"| ''~1.52'' ||align="right"| ''~0.78''
|-
| ''[[Galateja (mjesec)|Galateja]]'' ||align="right"| ''1.53'' ||align="right"| ''0.79''
|-
| ''[[Larisa (mjesec)|Larisa]]'' ||align="right"| ''~2.18'' ||align="right"| ''~1.13''
|-
| [[Pluton]] || [[Haron (mjesec)|Haron]] ||align="center"| 12.5 ||align="center"| 6.5
|}

== Izvori ==
{{izvori}}

[[Kategorija:Nebeska mehanika]]