Izvorni kod stranice Laplasova transformacija

'''Laplasova transformacija''' (nazvana po [[Pjer Simon Laplas|Pjer-Simon Laplasu]]) je [[integralna transformacija]], koja datu [[Kauzalnost|kauzalnu]] funkciju ''f(t)'' (original) preslikava iz vremenskog [[Domen (matematika)|domen]]a (''t'' = vreme) u funkciju F(s) u kompleksnom spektralnom domenu. Laplasova transformacija, iako je dobila ime u njegovu čast, jer je ovu transformaciju koristio u svom radu o [[Teorija verovatnoće|teoriji verovatnoće]], transformaciju je zapravo otkrio [[Leonard Ojler]], [[Švajcarska|švajcarski matematičar]] iz osamnaestog veka.

== Pojam originala ==

Funkcija ''t->f(t)'' naziva se ''originalom'' ako ispunjava sledeće uslove: 

:1. ''f'' je integrabilna na svakom konačnom intervalu ''t'' ose

:2. za svako ''t''<0, ''f(t)=''0

:3. postoje M i s<sub>0</sub>, tako da je <math> |f(t)| \le M e^{s_0t} </math>


== Definicija Laplasove transformacije ==

: <math>F(s) 
  = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}
  =\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt. \qquad (s = \sigma + \mathrm{i} \omega;
  \quad \sigma > 0;\quad t \ge 0 )
</math>

Funkcija ''F''(''s'') je »slika« ili laplasova transformacija »originala« ''f''(''t''). 

Za slučaj da je <math>s = i\omega</math> dobija se jednostrana [[Furijeova transformacija]]:

::<math>F(\omega) = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} </math>

::::<math>= \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i \omega}  =  F(s)|_{s = i \omega} </math>

::::<math>= \int_{0}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.</math>

== Osobine ==
=== Linearnost ===

:<math> \mathcal{L} \{  \sum_{k=1}^{n}  \alpha_k f_k(t) \} = \sum_{k=1}^{n} \alpha_k F_k(s)</math>

=== Teorema sličnosti ===
:Ako je <math> a>0 </math>, tada je <math> \mathcal{L} \{ f(at) \} = { 1 \over a } F({ s \over a }) </math>, pri čemu je <math> \mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s) </math>

=== Diferenciranje originala ===
:Ako je <math> a>0 </math> i <math> \mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s) </math>, tada je <math> \mathcal{L} \{ f^\prime(t) \} = s F(s) - f(0) </math> 

=== Diferenciranje slike ===
:Ako je <math> \mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s) </math>, tada je <math> \mathcal{L} \{ t f(t) \} = - F^\prime(s) </math>, odnosno indukcijom se potvrđuje da važi <math> \mathcal{L} \{ t^n f(t) \} = (-1)^n F^{(n)}(s) </math>

=== Integracija originala ===
:Ako je <math> a>0 </math> i <math> \mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s) </math>, tada je <math> \mathcal{L} \{ \int_0^t t(\tau)d\tau \} = { 1 \over s } F(s) </math> 

=== Integracija slike ===
:Ako postoji integral <math> \int_0^{\infty} F(s)ds </math>, tada je <math> \mathcal{L} \{ {f(t) \over t} \} = \int_s^{\infty} F(\sigma)d\sigma </math>

=== Teorema pomeranja ===
:<math> \mathcal{L} \{ {e^{s_0t} f(t)} \} = F(s-s_0) </math>

=== Teorema kašnjenja ===
:<math> \mathcal{L} \{ {f(t - \tau )} \} = -e^{ -s \tau } F(s), \tau \ge 0 </math>

=== Laplasova transformacija [[Konvolucija|konvolucije]] funkcija ===
: <math>\mathcal{L}\{f * g\}
  = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}</math>

Ova osobina je poznata kao Borelova teorema. 
Napomena: definicija konvolucije je: <math> (f\ast g) (x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \cdot g(t) \cdot dt = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot g(x-t) \cdot dt</math>

=== Laplasova transformacija [[Periodične funkcije|periodičnih funkcija]] ===
:Ako <math> f(t) </math> ima osobinu <math> f(t+T)=f(t) </math>, tada važi <math> \mathcal{L} \{ f(t) \} = \int_0^T { e^{-su} \over {1-e^{-sT}} } f(u) du </math>

==== Dokaz ====
:<math>\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-st}f(t)dt{\mid}_{t=u}+\int_{T}^{2T}e^{-st}f(t)dt{\mid}_{t=u+T}\int_{2T}^{3T}e^{-st}f(t)dt{\mid}_{t=u+2T}+...\,</math>

:<math>\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-st}f(u)du+\int_{T}^{2T}e^{-s(u+T)}f(u+T)du+\int_{2T}^{3T}e^{-s(u+2T)}f(u+2T)du+...\,</math>

:<math>\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-su}f(u)du+e^{-sT}\int_{0}^{T}e^{-su}f(u)du+e^{-2sT}\int_{0}^{T}e^{-su}f(u)dT+...\,</math>

:<math>\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=(1+e^{-sT}+e^{-2sT}+...)\int_{0}^{T}e^{-sT}f(T)du{\mid}_{u=t} \,</math>

Odakle sledi: <math>\mathcal{L}\{ f \}={1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt</math>

== Tabela najčešće korišćenih Laplasovih transformacija ==

Jednostrana Laplasova transformacija ima smisla samo za ne-negativne vrednosti -{t}-, stoga su sve vremenske funkcije u tabeli pomožene sa [[Hevisajdova funkcija|Hevisajdovom funkcijom]]. 

{| class="wikitable"
|-
! ID || Funkcija || Vremenski domen <br /> <math>x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}</math> || Laplasov -{s}--domen <br /> (frekventni domen) <br /> <math>X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}</math> || Oblast konvergencije <br /> ''za [[Kauzalni sistem|kauzalne]] sisteme''
|- style="text-align:center;"
| 1 || idealno kašnjenje || <math> \delta(t-\tau) \ </math> || <math> e^{-\tau s} \ </math> ||
|- style="text-align:center;"
| 1a || [[Dirakova delta funkcija|jedinični impuls]] || <math> \delta(t) \ </math> || <math> 1  </math> || <math> \mathrm{} \  s \,</math>
|- style="text-align:center;"
| 2 || zakašnjeni -{''n''}--ti stepen <br /> sa frekvencijskim pomeranjem ||  <math>\frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau) </math>  ||  <math> \frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}} </math> ||  <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math>
|- style="text-align:center;"
| 2a ||  -{''n''}--ti stepen <br /> (za ceo broj -{''n''}-)  ||  <math>{  t^n \over n! } \cdot u(t) </math>  ||  <math> { 1 \over s^{n+1} } </math> ||  <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math>
|- style="text-align:center;"
| 2a.1 ||  -{''q''}--ti stepen <br /> (za realno -{''q''}-)  ||  <math>{  t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t) </math>  ||  <math> { 1 \over s^{q+1} } </math> ||  <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math>
|- style="text-align:center;"
| 2a.2 || [[Hevisajdova funkcija]] || <math> u(t) \ </math> || <math> { 1 \over s } </math> ||  <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math>
|- style="text-align:center;"
| 2b || zakašnjena Hevisajdova funkcija || <math> u(t-\tau) \ </math> || <math> { e^{-\tau s} \over s } </math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math>
|- style="text-align:center;"
| 2c || [[rampa funkcija]] || <math> t \cdot u(t)\ </math> || <math>\frac{1}{s^2}</math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math>
|- style="text-align:center;"
| 2d ||  frekvencijsko pomeranje -{''n''}--tog reda  || <math>\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) </math>  || <math>\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}</math>  ||  <math> \textrm{Re} \{ s \} > - \alpha \, </math>
|- style="text-align:center;"
| 2d.1  || [[eksponencijalno opadanje]]  || <math> e^{-\alpha t} \cdot u(t)  \ </math>  || <math> { 1 \over s+\alpha } </math>  || <math>  \textrm{Re} \{ s \} > - \alpha \ </math>
|- style="text-align:center;"
| 3 || eksponencijalno približavanje  || <math>(1-e^{-\alpha t})  \cdot u(t)  \ </math> || <math>\frac{\alpha}{s(s+\alpha)} </math> || <math>  \textrm{Re} \{ s \} > 0\ </math>
|- style="text-align:center;"
| 4  || [[Sinus (trigonometrija)|sinus]] || <math> \sin(\omega t) \cdot u(t) \ </math> || <math> { \omega \over s^2 + \omega^2  } </math> || <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0  \ </math>
|- style="text-align:center;"
| 5 || [[kosinus]] || <math> \cos(\omega t) \cdot u(t) \ </math>  || <math> { s \over s^2 + \omega^2  } </math>    || <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \ </math>
|- style="text-align:center;"
| 6 || [[sinus hiperbolični|sinus hiperbolikus]]  ||  <math> \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ </math>  || <math> { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } </math>   ||  <math> \textrm{Re} \{ s \} > | \alpha | \ </math>
|- style="text-align:center;"
| 7 ||  [[kosinus hiperbolični|kosinus hiperbolikus]] ||   <math> \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ </math>  ||  <math> { s \over s^2 - \alpha^2  } </math>    ||  <math> \textrm{Re} \{ s \} > | \alpha | \ </math>
|- style="text-align:center;"
| 8 ||  eksponencijalno opadajući <br /> sinus ||   <math>e^{\alpha t}  \sin(\omega t) \cdot u(t) \ </math>  ||   <math> { \omega \over (s-\alpha )^2 + \omega^2  } </math>  ||  <math> \textrm{Re} \{ s \} > \alpha \ </math>
|- style="text-align:center;"
| 9 ||  eksponencijalno opadajući <br /> kosinus  ||   <math>e^{\alpha t}  \cos(\omega t) \cdot u(t) \ </math>   ||   <math> { s-\alpha \over (s-\alpha )^2 + \omega^2  } </math>  ||  <math> \textrm{Re} \{ s \} > \alpha \ </math>
|- style="text-align:center;"
| 10 ||   -{''n''}--ti koren  || <math> \sqrt[n]{t} \cdot u(t) </math>  ||  <math> s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)</math>  || <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math>
|- style="text-align:center;"
| 11 ||  [[prirodni logaritam]] ||  <math> \ln (t) \cdot u(t) </math>  ||  <math> - { 1 \over s}\, \left[ \ln(s)+\gamma \right] </math>   ||  <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math>
|- style="text-align:center;"
| 12 ||  [[Beselova funkcija]] <br /> prve vrste, <br /> reda -{''n''}- ||  <math> J_n(\omega t) \cdot u(t)</math>  || <math>\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}</math>  ||  <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math>   <br /> <math> (n > -1) \, </math>
|- style="text-align:center;"
| 13 ||  modifikovana Beselova funkcija <br /> prve vrste, <br /> reda -{''n''}- ||  <math>I_n(\omega t) \cdot u(t)</math>  ||  <math> \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}} </math>   ||   <math> \textrm{Re} \{ s \} > | \omega | \, </math>
|- style="text-align:center;"
| 14 ||  [[Beselova funkcija]] <br /> druge vrste, <br /> nultog reda ||  <math> Y_0(\alpha t) \cdot u(t)</math>  || <math>-{2 \sinh^{-1}(s/\alpha) \over \pi \sqrt{s^2+\alpha^2}}</math> ||  <math>\textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math>
|- style="text-align:center;"
| 15 || modifikovana Beselova funkcija <br /> druge vrste, <br /> nultog reda ||  <math> K_0(\alpha t) \cdot u(t)</math>  ||  &nbsp;  || &nbsp;
|- style="text-align:center;"
| 16 ||  [[funkcija greške]]  ||   <math> \mathrm{erf}(t) \cdot u(t) </math>  ||  <math>    {e^{s^2/4} \left(1 - \operatorname{erf} \left(s/2\right)\right) \over s}</math>   ||  <math> \textrm{Re} \{ s \} > 0 \, </math>
|- 
|colspan=5|'''Objašnjenja:'''
{{col-begin}}
{{col-break}}
* <math> u(t) \, </math> predstavlja [[Hevisajdova funkcija|Hevisajdovu funkciju]].
* <math> \delta(t) \, </math> predstavlja [[Dirakova delta funkcija|Dirakovu delta funkciju]].
* <math> \Gamma (z) \, </math> predstavlja [[Gama-funkcija|Gama funkciju]].
* <math> \gamma \, </math> je [[Ojler-Maskeronijeva konstanta]].
{{col-break}}
* <math>t \, </math>, je realan broj koji obično predstavlja ''vreme'', <br />iako može da se odnosi na bilo koju dimenziju.
* <math>s \, </math> je [[kompleksan broj|kompleksna]] [[ugaona frekvencija]], a <math>\textrm{Re} \{ s \}</math> je njen [[realni deo]].
* <math> \alpha \,</math>, <math> \beta \,</math>, <math> \tau \, </math>, and <math>\omega \,</math> su [[realan broj|realni brojevi]]. 
* <math>n \, </math>, je [[ceo broj]].
{{col-end}}
* [[Kauzalni sistem]] je sistem u kome je [[impulsni odziv]] -{''h''(''t'')}- nula za svako vreme -{''t''<0}-. Vidi još: [[Kauzalnost (fizika)|kauzalnost]].
|}

== Inverzna Laplasova transformacija ==

U opštem slučaju, original ''f''(''t'') date slike ''F''(''s'') dobija se rešavanjem [[Bromvičov integral|Bromvičovog integrala]]: 

: <math>\mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\}
  = \frac{1}{2 \pi \imath} \int_{ \gamma - \imath \infty}^{ \gamma + \imath \infty} e^{st} F(s)\,ds
  \qquad \gamma> s_0,
</math>

gde je <math>s_0</math> realni deo bilo kog [[Singularitet (matematika)|singulariteta]] funkcije <math>F(s)</math>. 

S obzirom da se ovde integrali [[kompleksan broj|kompleksna]] promenljiva, potrebno je koristiti metode kompleksne [[Matematička analiza|matematičke analize]]. Mnogi primeri inverzne Laplasove transformacije navedeni su u tabeli iznad. U praksi, funkcije se transformišu u primere iz tablice, na primer razlaganjem na proste faktore. 

== Diskretna Laplasova transformacija ==

Za funkciju celobrojne promenljive <math>f(n)</math> njena diskretna Laplasova transformacija se definiše kao: 

: <math>F^{\ast}(s) 
  =\sum_{n=0}^{\infty} e^{-sn} f(n)
</math>

Konvergencija ovog reda zavisi od <math>s</math>. 

Sve osobine i teoreme regularne Laplasove transformacije imaju svoje ekvivalente u diskretnoj Laplasovoj transformaciji.

== Primena ==

U [[Matematika|matematici]] Laplasova transformacija se koristi za analiziranje linearnih, vremenski nepromenljivih sistema, kao: električnih kola, harmonijskih oscilatora, optičkih uređaja i mehaničkih sistema. Ima primene u rešavanju [[Diferencijalna jednačina|diferencijalnih jednačina]] i [[Teorija verovatnoće|teoriji verovatnoće]].

== Literatura ==
{{refbegin|2}}
* {{citation|first1=Wolfgang|last1=Arendt|first2=Charles J.K.|last2=Batty|first3=Matthias|last3=Hieber|first4=Frank|last4=Neubrander|title=Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems|publisher=Birkhäuser Basel|year=2002|isbn=3-7643-6549-8}}.
* {{Citation |last=Bracewell |first=Ronald N. |title=The Fourier Transform and its Applications |edition=2nd |year=1978 |publisher=McGraw-Hill Kogakusha |isbn=0-07-007013-X }}<!-- This edition is used for pinpoint citations in the transform table. -->
* {{citation|first=R. N.|last=Bracewell|title=The Fourier Transform and Its Applications|edition=3rd|publication-place=Boston|publisher=McGraw-Hill|year=2000|isbn=0-07-116043-4}}.
* {{citation|last=Davies|first=Brian|title=Integral transforms and their applications|edition=Third|publisher=Springer|publication-place=New York|year=2002|isbn= 0-387-95314-0}}.
* {{Citation | last1=Feller | first1=William | author1-link= | title=An introduction to probability theory and its applications. Vol. II. | publisher= John Wiley & Sons | location=New York | series=Second edition | mr=0270403  | year=1971}}.
* {{citation |first1=G. A. |last1=Korn |first2=T. M. |last2=Korn |title=Mathematical Handbook for Scientists and Engineers |publisher=McGraw-Hill Companies |edition=2nd |year=1967 |isbn=0-07-035370-0 }}.
* {{citation|first1=A. D.|last1=Polyanin|first2=A. V.|last2=Manzhirov|title=Handbook of Integral Equations|publisher=CRC Press|publication-place=Boca Raton|year=1998|isbn=0-8493-2876-4}}.
* {{Citation | last1=Schwartz | first1=Laurent | title=Transformation de Laplace des distributions | mr=0052555  | year=1952 | journal=Comm. Sém. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] | volume=1952 | pages=196–206 |language=French }}.
* {{citation|first=William McC.|last=Siebert|title=Circuits, Signals, and Systems|publisher=MIT Press|publication-place=Cambridge, Massachusetts|year=1986|isbn=0-262-19229-2}}.
* {{Citation | last1=Widder | first1=David Vernon | title=The Laplace Transform | publisher= Princeton University Press | series=Princeton Mathematical Series, v. 6 | mr=0005923  | year=1941}}.
* {{Citation | last1=Widder | first1=David Vernon | title=What is the Laplace transform? | mr=0013447  | year=1945 | journal= American Mathematical Monthly | issn=0002-9890 |volume=52 |issue=8 | pages=419–425 | doi=10.2307/2305640 |publisher=The American Mathematical Monthly | jstor=2305640}}.
* {{Citation | last=Williams |first=J. |title=Laplace Transforms |series=Problem Solvers |volume= |publisher=George Allen & Unwin |year=1973 |isbn= 0-04-512021-8 }}
* {{Citation | last=Takacs | first= J.|title=Fourier amplitudok meghatarozasa operatorszamitassal | year=1953 | journal=Magyar Hiradastechnika | volume=IV | issue=7–8|pages=93–96 |language=Hungarian }}

* {{citation | last=Deakin|first= M. A. B. | year=1981 | title=The development of the Laplace transform | journal=Archive for the History of the Exact Sciences | volume=25 | pages=343–390 | doi=10.1007/BF01395660 | issue=4 }}
* {{citation | last=Deakin|first= M. A. B. | year=1982 | title=The development of the Laplace transform | journal=Archive for the History of the Exact Sciences | volume=26 | pages=351–381 | doi=10.1007/BF00418754 | issue=4}}
* {{citation|last=Euler|first=L.|authorlink= |year=1744|title=De constructione aequationum|journal=Opera omnia|series=1st series|volume=22|pages=150–161}}.
* {{citation|last=Euler|first=L.|authorlink= |year=1753|title=Methodus aequationes differentiales|journal=Opera omnia|series=1st series|volume=22|pages=181–213}}.
* {{citation|last=Euler|first=L.|authorlink= |year= 1769|title=Institutiones calculi integralis, Volume 2|journal=Opera omnia|series=1st series|volume=12}}, Chapters 3–5.
* {{citation|last=Grattan-Guinness|first=I|authorlink= |year=1997|contribution=Laplace's integral solutions to partial differential equations|editor=Gillispie, C. C.|title=Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact Science|publication-place=Princeton|publisher=Princeton University Press|isbn=0-691-01185-0}}.
* {{citation|last=Lagrange|first=J. L.|authorlink= |year=1773|title=Mémoire sur l'utilité de la méthode|series=Œuvres de Lagrange|volume=2|pages=171–234}}.
{{refend}}

== Vanjske veze ==
* http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html
* http://www.mathe.braunling.de/Laplace.htm
* http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/aufgaben/L/laplace_transformation.html
* http://www3.htl-hl.ac.at/homepage/bok/dt/mathe/mindex.html
* http://www.seeit.de/xedu/formeln/Lars%20Weiser/laplace.pdf
* http://www-hm.ma.tum.de/archiv/mw4/ss05/folien/Laplace.pdf
* http://www.convertit.com/Go/ConvertIt/Reference/AMS55.ASP?Res=150&Page=1020

[[Kategorija:Matematička analiza]]
[[Kategorija:Elektrotehnika]]