Izvorni kod stranice Šredingerova jednačina

U [[Kvantna mehanika|kvantnoj mehanici]], '''Šredingerova jednačina''' je [[parcijalna diferencijalna jednačina]] koja opisuje kako se [[kvantno stanje]] nekog [[Fizički sistem|fizičkog sistema]] menja s vremenom. Ovu jednačinu je formulisao 1925. godine, i objavio 1926, austrijski fizičar [[Ervin Šredinger]].

U [[klasična mehanika|klasičnoj mehanici]], [[jednačina kretanja]] je [[Njutnovi zakoni|Njutnov drugi zakon]], a ekvivalentne formulacije su [[Ojler–Lagranžova jednačina|Ojler–Lagranžove jednačine]] i [[Hamiltonova jednačina|Hamiltonove jednačine]]. Sve ove formulacije se koriste za rešavanje kretanja mehaničkog sistema i matematičko predviđanje stanja sistema u datom vremenu nakon inicijalnog stanja i konfiguracije sistema.

U kvantnoj mehanici, po analogiji sa Njutnovim zakonima je Šredingerova jednačina za kvantni sistem (obično atome, molekule, i subatomske čestice bilo slobodne, vezane, ili lokalizovane). Ona nije jednostavna algebarska jednačina, nego (opšta) [[linearna diferencijalna jednačina|linearna]] [[parcijalna diferencijalna jednačina]]. Diferencijalna jednačina opisuje [[talasna funkcija|talasnu funkciju]] sistema, koja se takođe naziva [[kvantno stanje]] ili vektor stanja.

U [[Kopenhagenska interpretacija|standardnoj interpretaciji kvantne mehanike]], talasna funkcija je najkompetniji opis fizičkog sistema. Rešenja Šrodingerove jednačine opisuju ne samo [[molekul]]ske, [[atom]]ske, i [[Subatomske čestice|subatomske]] sisteme, nego i makroskopske sisteme, možda čak i ceo [[svemir]].<ref name = sch>{{Cite journal
 | last = Schrödinger | first = E.
 | title = An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules
 | url = http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf
 | archiveurl = http://web.archive.org/web/20081217040121/http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf
 | archivedate = 2008-12-17
 | journal = Physical Review
 | volume = 28 | issue = 6 | pages=1049-1070
 | year = 1926
 | doi = 10.1103/PhysRev.28.1049
|bibcode = 1926PhRv...28.1049S}}</ref>
 
Poput Njutnovog drugog zakona, Šredigerova jednačina se može matematički transformisati u druge formulacije poput [[Verner Hajzenberg]]ove [[matrična mehanika|matrične mehanike]], i [[Ričard Filip Fajnman|Fejnmanove]] [[Formulacija kvantne teorije putem integrala putanja|integralne formulacije putanja]]. Isto tako poput Njutnovog drugog zakona, Šredingerova jednačina opisuje vreme na način koji je nepodesan za relativističke teorije, mada je taj problem manje izražen u matričnoj mehanici i potpuno otsutan u integralnoj formulaciji putanja. Jednačina je izvedena putem parcijalnog diferenciranja standardne [[talasna jednačina|talasne jednačine]] i supstituisanja relacije između [[momenat|momenta]] čestice i [[talasna dužina|talasne dužine]] talasa asociranog sa česticom u [[De Broj talasna dužina|De Brojevoj hipotezi]].

== Jednačina ==

=== Vremenski zavisna jednačina ===
Forma Šredingerove jednačine zavisi od fizičke situacije. Najopštija forma je vremenski zavisna Šredingerova jednačina, koja opisuje promene sistema u funkciji vremena:<ref>{{Cite book
 |last=Shankar |first=R.
 |year=1994
 |title=Principles of Quantum Mechanics
 |page=143
 |edition=2nd
 |publisher=Kluwer Academic/Plenum Publishers
 |isbn=978-0-306-44790-7
}}</ref>

{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Vreminski zavisna Šredingerova jednačina''' ''(opšta)''
|equation=<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi = \hat H \Psi</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}

gde je ''i'' [[imaginarna jedinica]], ''ħ'' je [[Plankova konstanta|redukovana Plankova konstanta]], ''[[Psi (slovo)|Ψ]]'' je [[talasna funkcija]] kvantnog sistema, i <math>\hat{H} </math> je [[Hamiltonijan (kvantna mehanika)|Hamiltonijanski]] [[operator (fizika)|operator]] (koji karakteriše totalnu energiju svake date talasne funkcije i poprima različite forme u zavisnosti od situacije).

[[Datoteka:Wave packet (dispersion).gif|thumb|200px|[[Talasna funkcija]] koja zadovoljava nerelativističku Šredingerovu jednačinu sa ''V''=0. Drugim rečima, ona odgovara čestici koja se slobodno kreće kroz prazan prostor. [[Kompleksan broj|Realni deo]] talasne funkcije je prikazan.]]
Najpoznatiji primer je [[relativistička kvantna mehanina|nerelativistička]] Šredingerova jednačina za jednu česticu, koja se kreće u [[električno polje|električnom polju]] (ali ne u [[magnetno polje|magnetnom polju]]; c.f. [[Paulijeva jednačina]]):

{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Vremenski zavisna Šredingerova jednačina''' ''(jedna [[relativistička kvantna mehanika|nerelativistička]] čestica)''
|equation=<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \left [ \frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t)\right] \Psi(\mathbf{r},t)</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}} 

gde je ''m'' masa čestice, ''V'' je njena [[potencijalna energija]], ∇<sup>2</sup> je [[Laplasijan]], i ''Ψ'' je talasna funkcija (preciznije, u ovom kontekstu, ona se naziva "poziciono prostorna talasna funkcija"). Totalna energija jednaka zbiru [[kinetička energija|kinetičke]] i [[potencijalna energija|potencijalne energije]]", mada sabirci poprimaju neuobičajene forme.

Pošto su specifični diferencijalni operatori zastupljeni, ovo je [[linearna diferencijalna jednačina|linearna]] [[parcijalna diferencijalna jednačina]]. Ona je takođe [[difuziona jednačina]].

Termin ''"Šredingerova jednačina"'' se može odnositi na opštu jednačinu (prva kutija gore), ili na specifičnu nerelativističku verziju (drugi kutija gore i njene varijante). Opšta jednačina je veoma uopštena. Ona nalazi primenu širiom kvantne mehanike, za sve od [[Dirakova jednačina|Dirakove jendačine]] do [[kvantna teorija polja|kvantne teorije polja]], putem upotrebe raznih kompleksnih izraza za Hamiltonijan. Specifična nerelativistička verzija je pojednostavljena aproksimacija relativističke. Ona je sasvim precizna u mnogim situacijama, mada postoje slučajevi gde je veoma neprecizna.

Pri primeni Šredingerove jednačine, Hamiltonijanski operator se definiše za dati sistem, tako da obuhvata kinetičku i potencijalnu energiju čestica sadržanih sistemom, i zatim se unosi u Šredingerovu jednačinu. Rezultirajuća parcijalna diferencijalna jednačina se rešava za talasnu funkciju, koja sadrži informacije o sistemu.

== Reference ==
{{reflist}}

== Literatura ==
{{refbegin|2}}
* {{Cite book |ref= harv|last=Shankar |first=R.|year=1994 |title=Principles of Quantum Mechanics|edition=2nd|pages=143-|publisher=Kluwer Academic/Plenum Publishers |isbn=978-0-306-44790-7|ref=harv}}
* {{Cite book |ref= harv|author= P. A. M. Dirac |author-link=Paul Dirac |title= Principles of Quantum Mechanics  | edition = 4th | publisher= Oxford University Press |year=1958}}
* {{Cite book |ref= harv|author=Müller-Kirsten, H. J. W. | title=Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral | edition=2nd | publisher=World Scientific | year=2012 | isbn=978-981-4397-74-2}}
* {{Cite book |ref= harv|last= Griffiths|first=David J.|  title = Introduction to Quantum Mechanics  | edition = 2nd | year = 2004 | publisher = Benjamin Cummings |  isbn = 0-13-124405-1}}
* {{Cite book |ref= harv|author = Richard Liboff | title = Introductory Quantum Mechanics | edition = 4th | year = 2002 | publisher = Addison Wesley |isbn=978-0-8053-8714-8}}
* {{Cite book |ref= harv|author = David Halliday | title = Fundamentals of Physics | edition = 8th | year = 2007 | publisher =  Wiley |isbn=978-0-471-15950-6}}
* {{Cite book |ref= harv|author = Serway, Moses, and Moyer | title = Modern Physics | edition = 3rd | year = 2004 | publisher = Brooks Cole |isbn=978-0-534-49340-0}}
* {{Cite book |ref= harv|title = Schrödinger: Life and Thought | author =  Walter John Moore | publisher =  Cambridge University Press | year = 1992 |isbn=978-0-521-43767-7}}
* {{cite journal |last=Schrödinger|first=Erwin| month = December | year = 1926 | title = An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules | journal = Phys. Rev. 28 (6) | pages=1049-1070 | doi = 10.1103/PhysRev.28.1049 | volume = 28 |bibcode = 1926PhRv...28.1049S | issue = 6}}
* {{Cite book |ref= harv|last = Teschl| given = Gerald| title=Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators| publisher=American Mathematical Society| place = [[Providens|Providence]]| year=2009 |url=http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ |isbn=978-0-8218-4660-5}}
{{refend}}

== Vidi još ==
* [[Paulijeva jednadžba]]

== Spoljašnje veze ==
* {{springer|title=Schrödinger equation|id=p/s083410}}
* [http://www.lightandmatter.com/html_books/0sn/ch13/ch13.html Quantum Physics] – textbook with a treatment of the time-independent Schrödinger equation
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde108.pdf Linear Schrödinger Equation] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde1403.pdf Nonlinear Schrödinger Equation] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [http://www.colorado.edu/UCB/AcademicAffairs/ArtsSciences/physics/TZD/PageProofs1/TAYL07-203-247.I.pdf The Schrödinger Equation in One Dimension]

[[Kategorija:Šredingerova jednačina]]
[[Kategorija:Talasna mehanika]]